定積分 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分法を用います。

$u = 1 - x^2$ と置きます。

このとき、$\frac{du}{dx} = -2x$ となり、$dx = \frac{du}{-2x}$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x=0$ のとき、$u = 1 - 0^2 = 1$

$x=1$ のとき、$u = 1 - 1^2 = 0$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{1}^{0} x \sqrt{u} \frac{du}{-2x} = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt{u} \, du$

積分範囲を反転させると、符号が反転します。

$-\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} \, du$

$u^{\frac{1}{2}}$ の積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (0)^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$