与えられた二つの関数を微分する問題です。 (1) $y = -\frac{3}{4x^8}$ (2) $y = \frac{x^4+4x^3+4x+1}{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた二つの関数を微分する問題です。

(1) $y = -\frac{3}{4x^8}$

(2) $y = \frac{x^4+4x^3+4x+1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = -\frac{3}{4x^8}$ を微分します。まず、関数を $y = -\frac{3}{4}x^{-8}$ と書き換えます。次に、べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

$y' = -\frac{3}{4} \cdot (-8)x^{-8-1} = 6x^{-9} = \frac{6}{x^9}$

(2) $y = \frac{x^4+4x^3+4x+1}{x^2}$ を微分します。まず、関数を各項ごとに $x^2$ で割って簡単にします。

$y = \frac{x^4}{x^2} + \frac{4x^3}{x^2} + \frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 4x + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 4x + 4x^{-1} + x^{-2}$

次に、各項を微分します。

$y' = 2x + 4 - 4x^{-2} - 2x^{-3} = 2x + 4 - \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{6}{x^9}$

(2) $y' = 2x + 4 - \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x^3}$