関数 $f(x, y) = \sqrt{|xy|}$ が与えられたとき、偏導関数 $f_x(x, y)$ が原点$(0, 0)$ で連続でないことを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \sqrt{|xy|}$ が与えられたとき、偏導関数 $f_x(x, y)$ が原点$(0, 0)$ で連続でないことを示す。

2. 解き方の手順

まず、偏導関数 $f_x(x, y)$ を計算する。

定義より、

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h \cdot 0|} - \sqrt{|0 \cdot 0|}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0$.

次に、$x \ne 0$ のとき、$f_x(x, y)$ を計算する。

$f(x, y) = \sqrt{|xy|}$ なので、$f(x, y) = (|xy|)^{1/2}$ である。

$x > 0$ かつ $y > 0$ の場合、$f(x, y) = \sqrt{xy}$ なので、

$f_x(x, y) = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}$.

$x > 0$ かつ $y < 0$ の場合、$f(x, y) = \sqrt{-xy}$ なので、

$f_x(x, y) = \frac{1}{2\sqrt{-xy}} \cdot (-y) = \frac{-y}{2\sqrt{-xy}} = \frac{-\sqrt{-y}}{2\sqrt{x}}$.

$x < 0$ かつ $y > 0$ の場合、$f(x, y) = \sqrt{-xy}$ なので、

$f_x(x, y) = \frac{1}{2\sqrt{-xy}} \cdot (-y) = \frac{-y}{2\sqrt{-xy}} = \frac{-\sqrt{-y}}{2\sqrt{-x}}$.

$x < 0$ かつ $y < 0$ の場合、$f(x, y) = \sqrt{xy}$ なので、

$f_x(x, y) = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}$.

したがって、$f_x(x, y) = \frac{y}{2\sqrt{|xy|}} \cdot \frac{x}{|x|}$である。

$f_x(x, y) = \begin{cases}

\frac{y}{2\sqrt{xy}} & \text{if } xy > 0, x > 0 \\

-\frac{y}{2\sqrt{-xy}} & \text{if } xy < 0, x > 0 \\

-\frac{y}{2\sqrt{-xy}} & \text{if } xy < 0, x < 0 \\

\frac{y}{2\sqrt{xy}} & \text{if } xy > 0, x < 0 \\

0 & \text{if } x = 0 \text{ or } y = 0

\end{cases}$.

$x \neq 0$のとき、$f_x(x,y) = \frac{y}{2\sqrt{|xy|}}\frac{x}{|x|}$。

原点$(0, 0)$に近づく経路に沿って$f_x(x, y)$の極限を考える。

$x > 0$とすると、$f_x(x, y) = \frac{y}{2\sqrt{xy}}$となる。$x = y^2$という経路で原点に近づくと、

$f_x(x, y) = \frac{y}{2\sqrt{y^3}} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$となる。$y \to 0$とすると、$f_x(x, y) \to \infty$となる。

よって、$f_x(x, y)$は原点で連続ではない。

3. 最終的な答え

$f_x(x, y)$は原点$(0, 0)$で連続ではない。