以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x\to\infty} (1 + ax)^{1/x}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x\to\infty} (1 + ax)^{1/x}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の対数を取ります。

$y = (1 + ax)^{1/x}$ と置くと、

$\ln y = \ln (1 + ax)^{1/x} = \frac{1}{x} \ln (1 + ax)$

次に、$\lim_{x\to\infty} \ln y$ を計算します。

$\lim_{x\to\infty} \ln y = \lim_{x\to\infty} \frac{\ln (1 + ax)}{x}$

この極限は不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln (1 + ax)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{a}{1 + ax}}{1} = \lim_{x\to\infty} \frac{a}{1 + ax}$

$x \to \infty$ のとき、$1 + ax \to \infty$ なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{a}{1 + ax} = 0$

したがって、$\lim_{x\to\infty} \ln y = 0$ です。

ここで、$\lim_{x\to\infty} \ln y = \ln (\lim_{x\to\infty} y)$ であるから、

$\ln (\lim_{x\to\infty} y) = 0$

両辺の指数を取ると、

$\lim_{x\to\infty} y = e^0 = 1$

よって、$\lim_{x\to\infty} (1 + ax)^{1/x} = 1$

3. 最終的な答え

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