曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 (1, 6)における接線の方程式とその接点の座標を求める問題です。与えられた点は(1,1)となっていますが、y=x^3+5xにx=1を代入するとy=6になるため、与えられた点は(1,6)であると解釈します。もし問題文通り、(1,1)を「通る」接線を求めるのであれば、全く別の問題となります。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 (1, 6)における接線の方程式とその接点の座標を求める問題です。与えられた点は(1,1)となっていますが、y=x^3+5xにx=1を代入するとy=6になるため、与えられた点は(1,6)であると解釈します。もし問題文通り、(1,1)を「通る」接線を求めるのであれば、全く別の問題となります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^3 + 5x$ を微分して、導関数を求めます。

導関数は接線の傾きを表します。

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 5$

次に、$x = 1$ のときの導関数の値を計算します。これが点 (1, 6) における接線の傾きです。

$\frac{dy}{dx}|_{x=1} = 3(1)^2 + 5 = 3 + 5 = 8$

したがって、接線の傾きは8です。

次に、点 (1, 6) を通り、傾きが8の直線の方程式を求めます。点傾きの公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使います。ここで、$(x_1, y_1) = (1, 6)$、 $m = 8$ です。

$y - 6 = 8(x - 1)$

$y - 6 = 8x - 8$

$y = 8x - 2$

したがって、接線の方程式は $y = 8x - 2$ です。

接点は (1, 6) です。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y=8x-2$ のとき、接点は $(1, 6)$