$a = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}$, $b = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}$ とするとき、定積分 $I = \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}} x(x^4 - \sqrt{11}x^2 + 2)^4 dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}$, $b = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}$ とするとき、定積分 $I = \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}} x(x^4 - \sqrt{11}x^2 + 2)^4 dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となるので、積分は以下のようになる。

$I = \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}} x(x^4 - \sqrt{11}x^2 + 2)^4 dx = \frac{1}{2} \int_a^b (u^2 - \sqrt{11}u + 2)^4 du$

次に、$f(u) = u^2 - \sqrt{11}u + 2$ とおくと、

$a = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}$, $b = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}$ であり、$u$ に関する積分区間は $a$ から $b$ である。

この区間の中間点は $\frac{a+b}{2} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ である。

$f(\frac{\sqrt{11}}{2} + t) = (\frac{\sqrt{11}}{2} + t)^2 - \sqrt{11}(\frac{\sqrt{11}}{2} + t) + 2 = \frac{11}{4} + \sqrt{11}t + t^2 - \frac{11}{2} - \sqrt{11}t + 2 = t^2 - \frac{3}{4}$

$f(\frac{\sqrt{11}}{2} - t) = (\frac{\sqrt{11}}{2} - t)^2 - \sqrt{11}(\frac{\sqrt{11}}{2} - t) + 2 = \frac{11}{4} - \sqrt{11}t + t^2 - \frac{11}{2} + \sqrt{11}t + 2 = t^2 - \frac{3}{4}$

したがって、$f(\frac{\sqrt{11}}{2} + t) = f(\frac{\sqrt{11}}{2} - t)$ である。つまり、$f(u)$ は $u = \frac{\sqrt{11}}{2}$ に関して対称である。

ここで、$a = \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$, $b = \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、積分区間は対称なので、$f(u)$ が対称であることから、被積分関数は対称となる。

つまり、 $I = \frac{1}{2}\int_a^b (u^2 - \sqrt{11}u + 2)^4 du = \frac{1}{2} \int_a^b (u^2-\sqrt{11}u + 2)^4 du$.

ここで、$g(u) = u^2 - \sqrt{11}u + 2$ とおく。

$g(a) = g(\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}) = (\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2})^2 - \sqrt{11}(\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}) + 2 = \frac{11 - 2\sqrt{33} + 3}{4} - \frac{11 - \sqrt{33}}{2} + 2 = \frac{14 - 2\sqrt{33}}{4} - \frac{22 - 2\sqrt{33}}{4} + \frac{8}{4} = \frac{14 - 22 + 8}{4} = 0$

同様に、$g(b) = g(\frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}) = (\frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2})^2 - \sqrt{11}(\frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}) + 2 = \frac{11 + 2\sqrt{33} + 3}{4} - \frac{11 + \sqrt{33}}{2} + 2 = \frac{14 + 2\sqrt{33}}{4} - \frac{22 + 2\sqrt{33}}{4} + \frac{8}{4} = \frac{14 - 22 + 8}{4} = 0$

したがって、$g(a) = g(b) = 0$ であるので、$I = \frac{1}{2}\int_a^b (u^2 - \sqrt{11}u + 2)^4 du = \frac{1}{2} \int_a^b [g(u)]^4 du = 0$

3. 最終的な答え

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