与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を二つの無限級数に分解します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{5^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n}$

それぞれの級数は等比級数であることに注意します。等比級数の和の公式 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$ （ただし $|r| < 1$）を利用します。

まず $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{5})^n$ を計算します。

この級数は初項 $a = \frac{2}{5}$, 公比 $r = \frac{2}{5}$ の等比級数です。

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{5})^n = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}$

次に $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{5})^n$ を計算します。

この級数は初項 $a = \frac{3}{5}$, 公比 $r = \frac{3}{5}$ の等比級数です。

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{5})^n = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2}$

最後に、二つの級数の和を計算します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{5^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n} = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{6}$