曲線 $y = e^x$ 上の点 $(1, e)$ における接線と、$y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求め、さらにその部分を $x$ 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^x$ 上の点 $(1, e)$ における接線と、$y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求め、さらにその部分を $x$ 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y=e^x$ の点 $(1, e)$ における接線を求める。

$y' = e^x$ であるから、点 $(1, e)$ における接線の傾きは $e^1 = e$ となる。

したがって、接線の方程式は

$y - e = e(x - 1)$

$y = ex$

となる。

次に、接線 $y=ex$ と曲線 $y = e^x$ および $y$ 軸 ($x=0$) で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

$y=ex$ と $y=e^x$ の交点は $ex = e^x$ より $x = 1$ であるから、積分範囲は $0 \le x \le 1$ となる。

$S = \int_{0}^{1} (e^x - ex) dx = [e^x - \frac{1}{2}ex^2]_{0}^{1} = (e - \frac{1}{2}e) - (1 - 0) = \frac{1}{2}e - 1$

最後に、この部分を $x$ 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める。

$V = \pi \int_{0}^{1} ((e^x)^2 - (ex)^2) dx = \pi \int_{0}^{1} (e^{2x} - e^2x^2) dx = \pi [\frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{3}e^2x^3]_{0}^{1} = \pi [(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{3}e^2) - (\frac{1}{2} - 0)] = \pi (\frac{1}{6}e^2 - \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}(e^2 - 3)$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{2}e - 1$

$V = \frac{\pi}{6}(e^2 - 3)$