$a$ は正の定数とし、$x > 0$ で定義された関数 $f(x)$ が等式 $\int_a^{x^2} f(t) dt = \log x$ を満たすように、$f(x)$ と $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とし、$x > 0$ で定義された関数 $f(x)$ が等式 $\int_a^{x^2} f(t) dt = \log x$ を満たすように、$f(x)$ と $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分と微積分学の基本定理を用いると、

$$\frac{d}{dx} \int_a^{x^2} f(t) dt = f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x f(x^2)$$

となります。右辺は

$$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$$

となります。したがって、

$$2x f(x^2) = \frac{1}{x}$$

$$f(x^2) = \frac{1}{2x^2}$$

ここで、$x^2 = u$ とおくと、$x = \sqrt{u}$ (ただし、$x > 0$ より) なので、

$$f(u) = \frac{1}{2u}$$

よって、$f(x) = \frac{1}{2x}$ となります。

次に、$a$ の値を求めます。与えられた等式 $\int_a^{x^2} f(t) dt = \log x$ に求めた $f(t) = \frac{1}{2t}$ を代入すると、

$$\int_a^{x^2} \frac{1}{2t} dt = \frac{1}{2} \int_a^{x^2} \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} [\log t]_a^{x^2} = \frac{1}{2} (\log(x^2) - \log a)$$

$$= \frac{1}{2} (2 \log x - \log a) = \log x - \frac{1}{2} \log a$$

これが $\log x$ に等しいので、

$$\log x - \frac{1}{2} \log a = \log x$$

したがって、$\frac{1}{2} \log a = 0$ より $\log a = 0$ となり、$a = e^0 = 1$ を得ます。

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{1}{2x}$

$a = 1$