問題文は、液体を容器に注ぐ際の液面の高さ、面積、体積の関係について、微分積分を用いて記述するものです。具体的には、液体の体積 $V$、液面の面積 $S$、液面の高さ $h$、時刻 $t$ を用いて、それぞれの変化率や関係式を求め、記述の空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

問題文は、液体を容器に注ぐ際の液面の高さ、面積、体積の関係について、微分積分を用いて記述するものです。具体的には、液体の体積 $V$、液面の面積 $S$、液面の高さ $h$、時刻 $t$ を用いて、それぞれの変化率や関係式を求め、記述の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

Q4:

- 液面の高さの変位 $\Delta h$ に対する体積の増分 $\Delta V$ の比 $\frac{\Delta V}{\Delta h}$ は、高さ $h$ に関する体積 $V$ の変化率と考えることができます。したがって、(1) は $\frac{\Delta V}{\Delta h}$ と考えられます。

- $\Delta h \rightarrow 0$ での極限値は、微分の定義から $\frac{dV}{dh}$ で表されます。したがって、(2) は $\frac{dV}{dh}$ です。$\frac{dV}{dh} = S$ であることが与えられています。

Q5:

- 連鎖律（チェインルール）から、$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \frac{dh}{dt}$ が成り立ちます。

- 問題文から、$\frac{dV}{dh}=S$ であるから、$\frac{dV}{dt} = S \frac{dh}{dt}$ となります。したがって、(1) は $\frac{dh}{dt}$ です。

Q6:

- $\frac{dV}{dt}$ は、注いだ液体の体積の増加の割合なので、問題文から $a$ と等しいです。

- Q5 から、$\frac{dh}{dt}$ は $\frac{dh}{dt}$ で表されます。

Q7:

- (*) の式 $\frac{dV}{dt} = S \frac{dh}{dt}$ から、$S$ と液面の上昇速度 $\frac{dh}{dt}$ の積は一定の値 $a$ となります。

- したがって、$S$ が小さい部分では、$\frac{dh}{dt}$ は大きくなります。逆に、$S$ が大きい部分では、$\frac{dh}{dt}$ は小さくなります。したがって、(1) は「大きい」、(2) は「小さい」となります。

3. 最終的な答え

Q4: (1) $\frac{\Delta V}{\Delta h}$, (2) $\frac{dV}{dh}$

Q5: (1) $\frac{dh}{dt}$

Q6: (1) $\frac{dh}{dt}$

Q7: (1) 大きい, (2) 小さい