次の関数の導関数を求めます。 (1) $f(x) = 2x$ (2) $f(x) = 4x^2$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。

(1) $f(x) = 2x$

(2) $f(x) = 4x^2$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 2x$ の導関数を求めます。

導関数の定義より、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x+h) = 2(x+h) = 2x + 2h$

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(2x + 2h) - 2x}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} 2$

$f'(x) = 2$

(2) $f(x) = 4x^2$ の導関数を求めます。

導関数の定義より、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x+h) = 4(x+h)^2 = 4(x^2 + 2xh + h^2) = 4x^2 + 8xh + 4h^2$

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4x^2 + 8xh + 4h^2) - 4x^2}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{8xh + 4h^2}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (8x + 4h)$

$f'(x) = 8x$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 2$

(2) $f'(x) = 8x$