$0 \le x \le \pi$ のとき、$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を三角関数の合成を用いて変形する。

$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x) = 2(\sin \frac{\pi}{3} \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \sin x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

次に、$x$ の範囲から $x + \frac{\pi}{3}$ の範囲を求める。

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

$z = x + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$y = 2 \sin z$ であり、$z$ の範囲は $\frac{\pi}{3} \le z \le \frac{4\pi}{3}$ である。

$\sin z$ は $z = \frac{\pi}{2}$ で最大値 $1$ を取り、$z = \frac{3\pi}{2}$ で最小値 $-1$ を取るが、$z$ の範囲を考慮すると、$\frac{\pi}{2}$ は範囲内にあるが、$\frac{3\pi}{2}$ は範囲外である。

$z = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin z = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$z = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\sin z = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$z = \frac{4\pi}{3}$ のとき、$\sin z = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$z = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y$ は最大値 $2 \sin \frac{\pi}{2} = 2 \times 1 = 2$ を取る。

このとき、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ である。

$z = \frac{4\pi}{3}$ のとき、$y$ は最小値 $2 \sin \frac{4\pi}{3} = 2 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$ を取る。

このとき、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ より、$x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \pi$ である。

3. 最終的な答え

最大値：2 ($x = \frac{\pi}{6}$ のとき)

最小値：$-\sqrt{3}$ ($x = \pi$ のとき)