与えられた積分を計算します。問題は次のとおりです。 $\int \frac{dx}{\tan^2 x}$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。問題は次のとおりです。

$\int \frac{dx}{\tan^2 x}$

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$であることを利用して、積分を書き換えます。

$\int \frac{dx}{\tan^2 x} = \int \frac{dx}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} dx$

次に、$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$なので、積分は次のようになります。

$\int \cot^2 x dx$

三角関数の恒等式 $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ を使用して、$\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ と書き換えます。

$\int \cot^2 x dx = \int (\csc^2 x - 1) dx$

積分を分割します。

$\int (\csc^2 x - 1) dx = \int \csc^2 x dx - \int 1 dx$

$\csc^2 x$ の積分は $-\cot x$ であり、1の積分は $x$ であることを知っています。

$\int \csc^2 x dx - \int 1 dx = -\cot x - x + C$

3. 最終的な答え

したがって、

$\int \frac{dx}{\tan^2 x} = -\cot x - x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

最終的な答え：$-\cot x - x + C$