与えられた関数の極限値を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、以下の問題を解きます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}}$

(4) $\lim_{x \to +0} x \log(1 + \frac{1}{x})$

(5) $\lim_{x \to \infty} x \arcsin(\frac{1}{x})$

(6) $\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1)$

(8) $\lim_{x \to \infty} (1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$

(9) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(\log x)^x}$

1. 問題の内容

与えられた関数の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}}$

$y = (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}}$ とおきます。

$\log y = \frac{1}{x} \log(\frac{a^x + b^x}{2})$

$\lim_{x \to 0} \log y = \lim_{x \to 0} \frac{\log(\frac{a^x + b^x}{2})}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\frac{d}{dx} \log(\frac{a^x + b^x}{2}) = \frac{a^x \log a + b^x \log b}{a^x + b^x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\frac{a^x + b^x}{2})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a^x \log a + b^x \log b}{a^x + b^x}}{1} = \frac{\log a + \log b}{2} = \log \sqrt{ab}$

したがって、$\lim_{x \to 0} \log y = \log \sqrt{ab}$ より、$\lim_{x \to 0} y = \sqrt{ab}$

(4) $\lim_{x \to +0} x \log(1 + \frac{1}{x})$

$x \log(1 + \frac{1}{x}) = x \log(\frac{x + 1}{x}) = x (\log(x + 1) - \log x) = x \log(x+1) - x \log x$

$\lim_{x \to +0} x \log(x+1) = 0$

$\lim_{x \to +0} -x \log x = 0$ （これは有名な極限です）

したがって、$\lim_{x \to +0} x \log(1 + \frac{1}{x}) = 0$

(5) $\lim_{x \to \infty} x \arcsin(\frac{1}{x})$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$

$\lim_{x \to \infty} x \arcsin(\frac{1}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{\arcsin t}{t}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\frac{d}{dt} \arcsin t = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\arcsin t}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} = 1$

(6) $\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1)$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$

$\lim_{x \to \infty} x(a^{\frac{1}{x}} - 1) = \lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\frac{d}{dt} a^t = a^t \log a$

$\lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{a^t \log a}{1} = \log a$

(8) $\lim_{x \to \infty} (1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$

$y = (1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$ とおきます。

$\log y = \frac{1}{x} \log(1 + e^x) = \frac{\log(1 + e^x)}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \log y = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x(e^{-x} + 1))}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \log(e^{-x} + 1)}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x}) = 1 + 0 = 1$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \log y = 1$ より、$\lim_{x \to \infty} y = e$

(9) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(\log x)^x}$

$y = \frac{x}{(\log x)^x}$ とおきます。

$\log y = \log x - x \log(\log x)$

$\lim_{x \to \infty} \log y = \lim_{x \to \infty} (\log x - x \log(\log x))$

$x \log(\log x)$ は $\log x$ よりはるかに早く増加するので、

$\lim_{x \to \infty} (\log x - x \log(\log x)) = -\infty$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \log y = -\infty$ より、$\lim_{x \to \infty} y = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\sqrt{ab}$

(4) 0

(5) 1

(6) $\log a$

(8) $e$

(9) 0