与えられた4つの微分方程式をラプラス変換を用いて解き、それぞれの初期条件を満たす解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの微分方程式をラプラス変換を用いて解き、それぞれの初期条件を満たす解を求める問題です。

2. 解き方の手順

以下、各問題に対する解法を示します。

ラプラス変換を $L$ と表し、$x(t)$ のラプラス変換を $X(s)$ と表します。

1. $x'(t) - 5x(t) = e^{4t}, x(0) = 2$

ラプラス変換を適用すると、

$L\{x'(t)\} - 5L\{x(t)\} = L\{e^{4t}\}$

$sX(s) - x(0) - 5X(s) = \frac{1}{s-4}$

$sX(s) - 2 - 5X(s) = \frac{1}{s-4}$

$(s-5)X(s) = 2 + \frac{1}{s-4} = \frac{2(s-4)+1}{s-4} = \frac{2s-7}{s-4}$

$X(s) = \frac{2s-7}{(s-4)(s-5)}$

部分分数分解すると、

$\frac{2s-7}{(s-4)(s-5)} = \frac{A}{s-4} + \frac{B}{s-5}$

$2s-7 = A(s-5) + B(s-4)$

$s=4$ のとき、 $8-7 = -A$, よって $A=-1$.

$s=5$ のとき、 $10-7 = B$, よって $B=3$.

$X(s) = -\frac{1}{s-4} + \frac{3}{s-5}$

逆ラプラス変換すると、

$x(t) = -e^{4t} + 3e^{5t}$

2. $x'(t) - 5x(t) = f(t), x(0) = 3$

ラプラス変換を適用すると、

$L\{x'(t)\} - 5L\{x(t)\} = L\{f(t)\}$

$sX(s) - x(0) - 5X(s) = F(s)$ ($F(s)$は $f(t)$ のラプラス変換)

$sX(s) - 3 - 5X(s) = F(s)$

$(s-5)X(s) = 3 + F(s)$

$X(s) = \frac{3}{s-5} + \frac{F(s)}{s-5}$

逆ラプラス変換すると、

$x(t) = 3e^{5t} + L^{-1}\{\frac{F(s)}{s-5}\}$

畳み込み定理より $L^{-1}\{\frac{F(s)}{s-5}\} = \int_0^t e^{5(t-\tau)} f(\tau) d\tau$

したがって、

$x(t) = 3e^{5t} + \int_0^t e^{5(t-\tau)} f(\tau) d\tau$

3. $x'' - 2x' - 8x = 0, x(0) = 3, x'(0) = -1$

ラプラス変換を適用すると、

$L\{x''\} - 2L\{x'\} - 8L\{x\} = 0$

$s^2X(s) - sx(0) - x'(0) - 2(sX(s) - x(0)) - 8X(s) = 0$

$s^2X(s) - 3s + 1 - 2sX(s) + 6 - 8X(s) = 0$

$(s^2 - 2s - 8)X(s) = 3s - 7$

$X(s) = \frac{3s-7}{s^2 - 2s - 8} = \frac{3s-7}{(s-4)(s+2)}$

部分分数分解すると、

$\frac{3s-7}{(s-4)(s+2)} = \frac{A}{s-4} + \frac{B}{s+2}$

$3s-7 = A(s+2) + B(s-4)$

$s=4$ のとき、 $12-7 = 6A$, よって $A=\frac{5}{6}$.

$s=-2$ のとき、 $-6-7 = -6B$, よって $B=\frac{13}{6}$.

$X(s) = \frac{5/6}{s-4} + \frac{13/6}{s+2}$

逆ラプラス変換すると、

$x(t) = \frac{5}{6}e^{4t} + \frac{13}{6}e^{-2t}$

4. $x'' - 2x' - 8x = e^{-2t}, x(0) = 3, x'(0) = -1$

ラプラス変換を適用すると、

$L\{x''\} - 2L\{x'\} - 8L\{x\} = L\{e^{-2t}\}$

$s^2X(s) - sx(0) - x'(0) - 2(sX(s) - x(0)) - 8X(s) = \frac{1}{s+2}$

$s^2X(s) - 3s + 1 - 2sX(s) + 6 - 8X(s) = \frac{1}{s+2}$

$(s^2 - 2s - 8)X(s) = 3s - 7 + \frac{1}{s+2}$

$(s-4)(s+2)X(s) = \frac{(3s-7)(s+2)+1}{s+2} = \frac{3s^2 -s -13}{s+2}$

$X(s) = \frac{3s^2 -s -13}{(s-4)(s+2)^2}$

部分分数分解すると、

$\frac{3s^2 -s -13}{(s-4)(s+2)^2} = \frac{A}{s-4} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{(s+2)^2}$

$3s^2 -s -13 = A(s+2)^2 + B(s-4)(s+2) + C(s-4)$

$s=4$ のとき、 $48-4-13 = 31 = 36A$, よって $A=\frac{31}{36}$.

$s=-2$ のとき、 $12+2-13 = 1 = -6C$, よって $C=-\frac{1}{6}$.

$s=0$ のとき、 $-13 = 4A - 8B - 4C$

$-13 = \frac{31}{9} - 8B + \frac{2}{3}$

$8B = \frac{31}{9} + \frac{6}{9} + \frac{117}{9} = \frac{154}{9}$

$B = \frac{77}{36}$

$X(s) = \frac{31/36}{s-4} + \frac{77/36}{s+2} - \frac{1/6}{(s+2)^2}$

逆ラプラス変換すると、

$x(t) = \frac{31}{36}e^{4t} + \frac{77}{36}e^{-2t} - \frac{1}{6}te^{-2t}$

3. 最終的な答え

1. $x(t) = -e^{4t} + 3e^{5t}$

2. $x(t) = 3e^{5t} + \int_0^t e^{5(t-\tau)} f(\tau) d\tau$

3. $x(t) = \frac{5}{6}e^{4t} + \frac{13}{6}e^{-2t}$

4. $x(t) = \frac{31}{36}e^{4t} + \frac{77}{36}e^{-2t} - \frac{1}{6}te^{-2t}$