関数 $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ の増減と極値を求め、グラフの概形を描け。

はい、承知いたしました。画像にある問題の中から、(4) の $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ について、増減と極値を調べ、グラフの概形を描く問題について解説します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ の増減と極値を求め、グラフの概形を描け。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2+2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = 0$

$1-x^2 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

次に、増減表を作成します。

| x | x < -1 | -1 | -1 < x < 1 | 1 | x > 1 |

|------|--------|------|-------------|------|-------|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ |

$x = -1$ のとき、$f(-1) = \frac{2(-1)}{1+(-1)^2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x = 1$ のとき、$f(1) = \frac{2(1)}{1+(1)^2} = \frac{2}{2} = 1$

したがって、$x = -1$ で極小値 $-1$ をとり、$x = 1$ で極大値 $1$ をとります。

次に、$f(x)$ の第2次導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} \right)$

$f''(x) = \frac{(-4x)(1+x^2)^2 - (2-2x^2)2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4}$

$f''(x) = \frac{(-4x)(1+x^2) - (2-2x^2)(4x)}{(1+x^2)^3}$

$f''(x) = \frac{-4x-4x^3 - 8x + 8x^3}{(1+x^2)^3}$

$f''(x) = \frac{4x^3 - 12x}{(1+x^2)^3} = \frac{4x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{4x(x^2-3)}{(1+x^2)^3} = 0$

$4x(x^2-3) = 0$

$x = 0, \pm \sqrt{3}$

$x = 0$ のとき、$f(0) = \frac{2(0)}{1+(0)^2} = 0$

$x = \sqrt{3}$ のとき、$f(\sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{1+(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = -\sqrt{3}$ のとき、$f(-\sqrt{3}) = \frac{2(-\sqrt{3})}{1+(-\sqrt{3})^2} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、変曲点は $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ です。

グラフの概形を描くには、以上の情報を元に、極値、変曲点、漸近線などを考慮します。この関数は奇関数であるため、原点に関して対称です。また、$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$ となるため、$y = 0$ が漸近線となります。

3. 最終的な答え

- 極大値：$x = 1$ で $f(1) = 1$

- 極小値：$x = -1$ で $f(-1) = -1$

- 変曲点：$(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

- 漸近線：$y = 0$