定積分で定義された関数を微分した結果を求める問題です。具体的には、 $\frac{d}{dx} \left( \int_{x}^{2x} \cos^2 t dt \right) = \text{(ア)} \cos^2 2x + \text{(イ)} \cos^2 x$ という式が与えられており、(ア)と(イ)に当てはまる数値を求める必要があります。

1. 問題の内容

定積分で定義された関数を微分した結果を求める問題です。具体的には、

$\frac{d}{dx} \left( \int_{x}^{2x} \cos^2 t dt \right) = \text{(ア)} \cos^2 2x + \text{(イ)} \cos^2 x$

という式が与えられており、(ア)と(イ)に当てはまる数値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して積分範囲を分割します。

$\int_{x}^{2x} \cos^2 t dt = \int_{0}^{2x} \cos^2 t dt - \int_{0}^{x} \cos^2 t dt$

次に、この式を$x$で微分します。微分の連鎖律と積分に関するライプニッツの法則（微分積分学の基本定理）を利用します。

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{2x} \cos^2 t dt = \cos^2(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2 \cos^2(2x)$

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \cos^2 t dt = \cos^2(x) \cdot \frac{d}{dx}(x) = \cos^2(x)$

したがって、

$\frac{d}{dx} \left( \int_{x}^{2x} \cos^2 t dt \right) = \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{2x} \cos^2 t dt - \int_{0}^{x} \cos^2 t dt \right) = 2\cos^2(2x) - \cos^2(x)$

これにより、(ア)には2が、(イ)には-1が入ることがわかります。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：-1