$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ (3) $\sin \theta - \cos \theta$

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

(3) $\sin \theta - \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{2}{3})^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{4}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ を因数分解します。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ であり、(1)より $\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$ なので、

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{2}{3})(1 - (-\frac{5}{18})) = (\frac{2}{3})(1 + \frac{5}{18}) = (\frac{2}{3})(\frac{18}{18} + \frac{5}{18}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{23}{18} = \frac{23}{27}$

(3) $(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算します。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$= 1 - 2\sin \theta \cos \theta$

(1)より $\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$ なので、

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2(-\frac{5}{18}) = 1 + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} + \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$

$\sin \theta - \cos \theta = \pm\sqrt{\frac{14}{9}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{3}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3} > 0$ より、$\theta$ が第一象限か第二象限にあることがわかります。

$\sin \theta > 0$ なので、$\theta$ が第一象限にある場合、$\cos \theta > 0$ であり、$\sin \theta - \cos \theta$ の符号はまだわかりません。

$\theta$ が第二象限にある場合、$\cos \theta < 0$ であり、$\sin \theta - \cos \theta > 0$ となります。

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm\frac{\sqrt{14}}{3}$ のどちらもありえます。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$

$\sin \theta - \cos \theta = x$

$2\sin \theta = \frac{2}{3} + x$

$2\cos \theta = \frac{2}{3} - x$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$(\frac{1}{2}(\frac{2}{3} + x))^2 + (\frac{1}{2}(\frac{2}{3} - x))^2 = 1$

$\frac{1}{4}(\frac{4}{9} + \frac{4x}{3} + x^2) + \frac{1}{4}(\frac{4}{9} - \frac{4x}{3} + x^2) = 1$

$\frac{1}{4}(\frac{8}{9} + 2x^2) = 1$

$\frac{8}{9} + 2x^2 = 4$

$2x^2 = 4 - \frac{8}{9} = \frac{36}{9} - \frac{8}{9} = \frac{28}{9}$

$x^2 = \frac{14}{9}$

$x = \pm \frac{\sqrt{14}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{23}{27}$

(3) $\sin \theta - \cos \theta = \pm \frac{\sqrt{14}}{3}$