関数 $y = \sin^2{\theta} + \cos{\theta} + 1$ (ただし、$0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、それぞれの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2{\theta} + \cos{\theta} + 1$ (ただし、$0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、それぞれの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2{\theta}$ を $\cos{\theta}$ で表します。$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta}$ です。

これを $y$ の式に代入すると、

$y = 1 - \cos^2{\theta} + \cos{\theta} + 1 = -\cos^2{\theta} + \cos{\theta} + 2$ となります。

次に、$\cos{\theta} = t$ と置きます。このとき、$0 \le \theta < 2\pi$ なので、$-1 \le t \le 1$ です。

$y = -t^2 + t + 2$ となり、これを平方完成します。

$y = -(t^2 - t) + 2 = -(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2 = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

$y = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$ となりました。

この式から、最大値と最小値を求めます。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{9}{4}$ をとります。

$t = -1$ のとき、$y$ は最小値をとります。$y = -(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$ です。

次に、それぞれの $t$ の値に対応する $\theta$ の値を求めます。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ です。$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲でこれを満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ です。

$t = -1$ のとき、$\cos{\theta} = -1$ です。$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲でこれを満たす $\theta$ は、$\theta = \pi$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{9}{4}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値：$0$ ($\theta = \pi$ のとき)