不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を求める問題です。答えは $\frac{\text{ア}}{\text{イ}}e^{\text{ウ}} + C$ の形式で与える必要があります。

1. 問題の内容

不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を求める問題です。答えは $\frac{\text{ア}}{\text{イ}}e^{\text{ウ}} + C$ の形式で与える必要があります。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を用いて解くことができます。

$t = x^2$ と置くと、$dt = 2x dx$ となります。

したがって、$x dx = \frac{1}{2} dt$ です。

与えられた積分は、

$\int xe^{x^2} dx = \int e^{x^2} x dx$

と書き換えられます。置換を行うと、

$\int e^{x^2} x dx = \int e^t \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int e^t dt$

となります。

$\int e^t dt = e^t + C$ であるから、

$\frac{1}{2} \int e^t dt = \frac{1}{2} e^t + C$

となります。

最後に、$t = x^2$ を代入して元に戻すと、

$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

となります。

したがって、$\frac{\text{ア}}{\text{イ}}e^{\text{ウ}} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$ より、ア = 1, イ = 2, ウ = $x^2$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: x^2