与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。ただし、関数は全て連続であるとします。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。ただし、関数は全て連続であるとします。

2. 解き方の手順

各選択肢について真偽を判断します。

(1)「$f(x)$は閉区間$[a, b]$において常に積分可能である。」

$f(x)$は連続関数なので、閉区間$[a, b]$において常に積分可能です。したがって、この記述は正しいです。

(2)「$\int_{a}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx - \int_{c}^{b} f(x)dx$が成り立つ。」

積分区間の性質より、$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$が成り立ちます。したがって、$\int_{a}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx - \int_{c}^{b} f(x)dx$も成り立ちます。この記述は正しいです。

(3)「閉区間$[a, b]$上で、$f(x) \le g(x)$ならば、$\int_{a}^{b} |f(x)|dx \le \int_{a}^{b} |g(x)|dx$が成り立つ。」

これは一般には成り立ちません。例えば、$f(x) = -2$、$g(x) = -1$とすると、$f(x) \le g(x)$ですが、$\int_{a}^{b} |-2|dx = 2(b-a)$、$\int_{a}^{b} |-1|dx = b-a$となり、$\int_{a}^{b} |f(x)|dx > \int_{a}^{b} |g(x)|dx$となります。この記述は誤りです。

$f(x) \le g(x)$ならば、$\int_{a}^{b} f(x)dx \le \int_{a}^{b} g(x)dx$が成り立ちます。

(4)「閉区間$[a, b]$上で、$\int_{a}^{b} f(x)dx = 0$ならば、$[a, b]$上で$f(x) = 0$である。」

これは一般には成り立ちません。例えば、$f(x) = x$、$a=-1$、$b=1$とすると、$\int_{-1}^{1} x dx = [\frac{1}{2}x^{2}]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ですが、$[-1, 1]$上で$f(x) = 0$ではありません。この記述は誤りです。

(5)「閉区間$[a, b]$上で、$\int_{a}^{b} \{f(x)\}^{2}dx = 0$ならば、$[a, b]$上で$f(x) = 0$である。」

$f(x)$は連続なので、$f(x)^{2} \ge 0$です。$\int_{a}^{b} f(x)^{2}dx = 0$ということは、$f(x)^{2} = 0$となるしかありません。したがって、$f(x) = 0$となります。この記述は正しいです。

(6)「$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^{3} = \int_{0}^{1} x^{3}dx$が成り立つ。」

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^{3} = \int_{0}^{1} x^{3}dx$は、リーマン和の定義そのものです。この記述は正しいです。

3. 最終的な答え

正しい選択肢は、(1), (2), (5), (6) です。