次の微分方程式を解きます。 (1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{e^y}$ (2) $\frac{dy}{dx} = xy + 2x + y + 2$

1. 問題の内容

次の微分方程式を解きます。

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{e^y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = xy + 2x + y + 2$

2. 解き方の手順

(1)

この微分方程式は変数分離形なので、変数分離して積分します。

$e^y dy = x dx$

両辺を積分すると

$\int e^y dy = \int x dx$

$e^y = \frac{1}{2}x^2 + C$

$y = \ln(\frac{1}{2}x^2 + C)$

(2)

$\frac{dy}{dx} = xy + 2x + y + 2$

$\frac{dy}{dx} = x(y+2) + (y+2)$

$\frac{dy}{dx} = (x+1)(y+2)$

この微分方程式は変数分離形なので、変数分離して積分します。

$\frac{dy}{y+2} = (x+1) dx$

両辺を積分すると

$\int \frac{dy}{y+2} = \int (x+1) dx$

$\ln|y+2| = \frac{1}{2}x^2 + x + C$

$|y+2| = e^{\frac{1}{2}x^2 + x + C}$

$y+2 = \pm e^C e^{\frac{1}{2}x^2 + x}$

$y = -2 + Ae^{\frac{1}{2}x^2 + x}$ (ただし、$A = \pm e^C$)

3. 最終的な答え

(1) $y = \ln(\frac{1}{2}x^2 + C)$

(2) $y = -2 + Ae^{\frac{1}{2}x^2 + x}$ (Aは任意定数)