$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く。 (1) $2\cos{2x} + 4\cos{x} - 1 = 0$ (2) $\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く。

(1) $2\cos{2x} + 4\cos{x} - 1 = 0$

(2) $\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$2\cos{2x} + 4\cos{x} - 1 = 0$ を解く。

$\cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1$ を用いて、$\cos{x}$ のみの式にする。

$2(2\cos^2{x} - 1) + 4\cos{x} - 1 = 0$

$4\cos^2{x} + 4\cos{x} - 3 = 0$

ここで、$\cos{x} = t$ とおくと、

$4t^2 + 4t - 3 = 0$

$(2t - 1)(2t + 3) = 0$

$t = \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$

$\cos{x} = \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$

$-1 \le \cos{x} \le 1$ より、$\cos{x} = -\frac{3}{2}$ は不適。

$\cos{x} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2)

次に、$\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$ を解く。

$\cos{x}$ で両辺を割りたいが、$\cos{x}$ の符号によって不等号の向きが変わる。

両辺を2乗すると、

$\cos^2{x} < 3\sin^2{x}$

$\cos^2{x} < 3(1 - \cos^2{x})$

$\cos^2{x} < 3 - 3\cos^2{x}$

$4\cos^2{x} < 3$

$\cos^2{x} < \frac{3}{4}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \cos{x} < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x$ の範囲は、$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$

$\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$ を変形する。

$\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} > 0$

$2\sin(x - \frac{\pi}{6}) > 0$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) > 0$

$0 < x - \frac{\pi}{6} < \pi$

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$

$2\pi$ を周期として繰り返すので、

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$