与えられた二つの関数をフーリエ級数展開する問題です。それぞれの関数は周期関数とします。 (1) $f(x) = 2x - 1 \quad (-\pi \le x < \pi)$ (2) $f(x) = x + 1 \quad (-1 \le x \le 1)$

1. 問題の内容

与えられた二つの関数をフーリエ級数展開する問題です。それぞれの関数は周期関数とします。

(1) $f(x) = 2x - 1 \quad (-\pi \le x < \pi)$

(2) $f(x) = x + 1 \quad (-1 \le x \le 1)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 2x - 1$ のフーリエ級数展開

周期が $2\pi$ の関数 $f(x)$ のフーリエ級数は、次のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、以下のように計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2x - 1) dx = \frac{1}{\pi} [x^2 - x]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} [(\pi^2 - \pi) - (\pi^2 + \pi)] = \frac{1}{\pi} (-2\pi) = -2$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2x - 1) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 2x\cos(nx) dx - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) dx$

$2x\cos(nx)$ は奇関数なので、$\int_{-\pi}^{\pi} 2x\cos(nx) dx = 0$

$\cos(nx)$ は偶関数なので、 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) dx = 2 \int_{0}^{\pi} \cos(nx) dx = 2[\frac{\sin(nx)}{n}]_0^\pi = 0$

したがって、$a_n = 0$

最後に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2x - 1) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 2x\sin(nx) dx - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) dx$

$\sin(nx)$ は奇関数なので、$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) dx = 0$

$2x\sin(nx)$ は偶関数なので、$\int_{-\pi}^{\pi} 2x\sin(nx) dx = 2\int_{0}^{\pi} 2x\sin(nx) dx$

部分積分を用いて計算します。

$\int 2x\sin(nx) dx = 2x(-\frac{\cos(nx)}{n}) - \int 2(-\frac{\cos(nx)}{n}) dx = -\frac{2x\cos(nx)}{n} + \frac{2}{n} \int \cos(nx) dx = -\frac{2x\cos(nx)}{n} + \frac{2\sin(nx)}{n^2}$

$\int_{0}^{\pi} 2x\sin(nx) dx = [-\frac{2x\cos(nx)}{n} + \frac{2\sin(nx)}{n^2}]_0^{\pi} = -\frac{2\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{2\pi(-1)^n}{n}$

$b_n = \frac{1}{\pi} (2(-\frac{2\pi(-1)^n}{n})) = -\frac{4(-1)^n}{n}$

よって、

$f(x) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{4(-1)^n}{n} \sin(nx)) = -1 + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$

(2) $f(x) = x + 1$ のフーリエ級数展開

周期が2の関数 $f(x)$ のフーリエ級数は、次のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n\pi x}{L}))$ ここでL = 1

$a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx$

$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx$

この問題の場合、$L = 1$ なので、

$a_0 = \int_{-1}^{1} (x + 1) dx = [\frac{x^2}{2} + x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} - 1) = 2$

$a_n = \int_{-1}^{1} (x + 1) \cos(n\pi x) dx = \int_{-1}^{1} x\cos(n\pi x) dx + \int_{-1}^{1} \cos(n\pi x) dx$

$x\cos(n\pi x)$ は奇関数なので、$\int_{-1}^{1} x\cos(n\pi x) dx = 0$

$\int_{-1}^{1} \cos(n\pi x) dx = [\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}]_{-1}^{1} = 0$

したがって、$a_n = 0$

$b_n = \int_{-1}^{1} (x + 1) \sin(n\pi x) dx = \int_{-1}^{1} x\sin(n\pi x) dx + \int_{-1}^{1} \sin(n\pi x) dx$

$\sin(n\pi x)$ は奇関数なので、$\int_{-1}^{1} \sin(n\pi x) dx = 0$

$x\sin(n\pi x)$ は偶関数なので、$\int_{-1}^{1} x\sin(n\pi x) dx = 2\int_{0}^{1} x\sin(n\pi x) dx$

部分積分を用いて計算します。

$\int x\sin(n\pi x) dx = x(-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}) - \int (-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}) dx = -\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi} + \frac{\sin(n\pi x)}{n^2\pi^2}$

$\int_{0}^{1} x\sin(n\pi x) dx = [-\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi} + \frac{\sin(n\pi x)}{n^2\pi^2}]_0^{1} = -\frac{\cos(n\pi)}{n\pi} = -\frac{(-1)^n}{n\pi}$

$b_n = 2(-\frac{(-1)^n}{n\pi}) = -\frac{2(-1)^n}{n\pi}$

よって、

$f(x) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{2(-1)^n}{n\pi} \sin(n\pi x)) = 1 + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(n\pi x)$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -1 + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$

(2) $f(x) = 1 + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(n\pi x)$