$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解け。 (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $2 \cos \theta + \sqrt{2} > 0$ (3) $-1 < \tan \theta < \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解け。

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $2 \cos \theta + \sqrt{2} > 0$

(3) $-1 < \tan \theta < \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。

単位円上で $y$ 座標が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる点を考える。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{2\pi}{3}$ である。

(2) $2 \cos \theta + \sqrt{2} > 0$ を解く。

まず、不等式を整理する。

$2 \cos \theta > - \sqrt{2}$

$\cos \theta > - \frac{\sqrt{2}}{2}$

単位円上で $x$ 座標が $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ より大きくなる $\theta$ の範囲を考える。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ と $\theta = \frac{5\pi}{4}$ である。

したがって、$\cos \theta > - \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}$ または $\frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi$ である。

(3) $-1 < \tan \theta < \sqrt{3}$ を解く。

$\tan \theta$ の値が $-1$ と $\sqrt{3}$ になる $\theta$ の値を求める。

$\tan \theta = -1$ となるのは、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ と $\theta = \frac{7\pi}{4}$ である。

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{4\pi}{3}$ である。

$\tan \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されないことに注意する。

したがって、$-1 < \tan \theta < \sqrt{3}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{4}$, $\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{4}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(2) $0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi$

(3) $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{4}$