区分求積法の原理を用いて、以下の極限値を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} (\frac{1^3}{n^4} + \frac{2^3}{n^4} + \frac{3^3}{n^4} + \cdots + \frac{n^3}{n^4})$

1. 問題の内容

区分求積法の原理を用いて、以下の極限値を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1^3}{n^4} + \frac{2^3}{n^4} + \frac{3^3}{n^4} + \cdots + \frac{n^3}{n^4})$

2. 解き方の手順

与えられた極限を区分求積法を用いて計算します。まず、式を$\Sigma$記号を使って書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{n^4}$

$\frac{1}{n}$をくくり出すと、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^3$

これは、関数 $f(x) = x^3$ の区間 $[0, 1]$ における定積分と見なすことができます。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^3 = \int_{0}^{1} x^3 dx$

積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_{0}^{1} = \frac{1}{4}(1^4 - 0^4) = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$