不等式 $\sin^2 x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \geq 0$ を満たす $x$ の範囲を、 $0 \leq x < 2\pi$ の範囲で求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sin^2 x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \geq 0$ を満たす $x$ の範囲を、 $0 \leq x < 2\pi$ の範囲で求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を因数分解します。

$\sin x$ でくくると、

$\sin x (\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x) \geq 0$

となります。

次に、 $\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x$ の部分を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = R\sin(x + \alpha)$ とおくと、

$R\cos \alpha = 1$

$R\sin \alpha = \sqrt{3}$

したがって、 $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$

$\tan \alpha = \sqrt{3}$ より、 $\alpha = \frac{\pi}{3}$

よって、 $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\sin(x + \frac{\pi}{3})$

したがって、不等式は

$\sin x (2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1) \geq 0$

と書き換えられます。

不等式 $\sin x (2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1) \geq 0$ を解くには、 $\sin x$ と $2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$ の符号を考慮する必要があります。

まず、$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$ となる $x$ を求めます。

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$ (これは範囲外)

$x + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$ より、 $x = \frac{13\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ より、 $x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$x + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$ より、$x = \frac{17\pi}{6}$ (これは範囲外)

したがって、 $2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{2}$ と $x = \frac{11\pi}{6}$ です。

次に、$\sin x = 0$ となる $x$ は $x = 0, \pi$ です。

したがって、区間を $[0, \frac{\pi}{2}]$, $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, $[\pi, \frac{11\pi}{6}]$, $[\frac{11\pi}{6}, 2\pi)$ に分けて、符号を調べます。

* $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x > 0$、$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1 > 0$ なので、 $\sin x (2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1) > 0$。

* $x = \frac{\pi}{2}$ のとき、 $\sin x = 1 > 0$、$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$ なので、 $\sin x (2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1) = 0$。

* $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、$\sin x > 0$、$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1 < 0$ なので、 $\sin x (2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1) < 0$。

* $x = \pi$ のとき、$\sin x = 0$ なので、 $\sin x (2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1) = 0$。

* $\pi < x < \frac{11\pi}{6}$ のとき、$\sin x < 0$、$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1 < 0$ なので、 $\sin x (2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1) > 0$。

* $x = \frac{11\pi}{6}$ のとき、$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$ なので、 $\sin x (2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1) = 0$。

* $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$ のとき、$\sin x < 0$、$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1 > 0$ なので、 $\sin x (2\sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1) < 0$。

したがって、不等式を満たす $x$ の範囲は $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ または $\pi \leq x \leq \frac{11\pi}{6}$ です。

3. 最終的な答え

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$, $\pi \leq x \leq \frac{11\pi}{6}$