$0 < \alpha < \frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ とする。$\sin \alpha = \frac{3}{5}$、$\sin \beta = \frac{15}{17}$ のとき、$\cos \alpha$、$\cos \beta$、および $2\sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ とする。$\sin \alpha = \frac{3}{5}$、$\sin \beta = \frac{15}{17}$ のとき、$\cos \alpha$、$\cos \beta$、および $2\sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ を求める。$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\cos \alpha > 0$ である。三角関数の基本関係式 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$。

したがって、$\cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$。

次に、$\cos \beta$ を求める。$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ であるから、$\cos \beta < 0$ である。三角関数の基本関係式 $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{64}{289}$。

したがって、$\cos \beta = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17}$。

次に、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ を求める。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{8}{17}) + \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} = -\frac{24}{85} + \frac{60}{85} = \frac{36}{85}$。

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{8}{17}) - \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{17} = -\frac{32}{85} - \frac{45}{85} = -\frac{77}{85}$。

最後に、$2\sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha + \beta)$ を求める。

$2\sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2 \cdot \frac{36}{85} + (-\frac{77}{85}) = \frac{72}{85} - \frac{77}{85} = -\frac{5}{85} = -\frac{1}{17}$。

3. 最終的な答え

$\cos \alpha = \frac{4}{5}$

$\cos \beta = -\frac{8}{17}$

$2\sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha + \beta) = -\frac{1}{17}$