関数 $f(x) = e^{-x}\sin{x}$ (ただし、$x>0$) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。 (2) 方程式 $f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つとき、$a$ の値の範囲を求める。ただし、$a > 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-x}\sin{x}$ (ただし、$x>0$) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

(2) 方程式 $f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つとき、$a$ の値の範囲を求める。ただし、$a > 0$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の最大値と最小値を求めるために、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -e^{-x}\sin{x} + e^{-x}\cos{x} = e^{-x}(\cos{x} - \sin{x})$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\cos{x} - \sin{x} = 0$

$\cos{x} = \sin{x}$

$\tan{x} = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ (n は整数)

$x>0$ より、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \dots$

次に、$f''(x)$ を計算して、極大値、極小値を判定します。

$f''(x) = -e^{-x}(\cos{x}-\sin{x}) + e^{-x}(-\sin{x}-\cos{x}) = e^{-x}(-\cos{x}+\sin{x}-\sin{x}-\cos{x}) = -2e^{-x}\cos{x}$

$x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ (n は整数)のとき、$f''(\frac{\pi}{4} + 2n\pi) = -2e^{-(\frac{\pi}{4} + 2n\pi)}\cos{(\frac{\pi}{4} + 2n\pi)} = -2e^{-(\frac{\pi}{4} + 2n\pi)}\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}e^{-(\frac{\pi}{4} + 2n\pi)} < 0$

よって、$x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ で極大値をとります。

$x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ (n は整数)のとき、$f''(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi) = -2e^{-(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi)}\cos{(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi)} = -2e^{-(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi)}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}e^{-(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi)} > 0$

よって、$x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ で極小値をとります。

極大値は $f(\frac{\pi}{4} + 2n\pi) = e^{-(\frac{\pi}{4} + 2n\pi)}\sin{(\frac{\pi}{4} + 2n\pi)} = e^{-(\frac{\pi}{4} + 2n\pi)}\frac{\sqrt{2}}{2}$

極小値は $f(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi) = e^{-(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi)}\sin{(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi)} = e^{-(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi)}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -e^{-(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi)}\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x>0$ において、$x$ が大きくなるにつれて $e^{-x}$ は小さくなるので、

最大値は $n=0$ のときの $\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$

最小値は存在しません(0に近づきます)。

(2) $f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つ条件を考える。

$x>0$ であり、$f(x)$ は減衰振動をする関数である。

$f(x) = e^{-x}\sin{x}$

$f(x)$ の最大値は $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$

$x=\pi$ のとき、$f(\pi) = e^{-\pi}\sin{\pi} = 0$

$x=2\pi$ のとき、$f(2\pi) = e^{-2\pi}\sin{2\pi} = 0$

最大値 $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$ より $0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$

$x = \frac{5}{4}\pi$ は極小値であり、$f(\frac{5}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{5}{4}\pi}$ であるが、$a>0$ であるため、極小値以下は考慮しない。

$f(x)$は、$x>0$ で連続な関数であり、$x \rightarrow \infty$ で $f(x) \rightarrow 0$ である。

したがって、$0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$ であることが必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$, $x = \frac{\pi}{4}$

最小値: なし

(2) $0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$