関数 $f(x) = \int_1^x (t^2 - 3t + 2) dt$ が与えられている。$f(x)$ が極大値をとる $x$ の値と、その極大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_1^x (t^2 - 3t + 2) dt$ が与えられている。$f(x)$ が極大値をとる $x$ の値と、その極大値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を微分して、極値を求める。

まず、$f(x)$ を微分する。微積分学の基本定理より、

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_1^x (t^2 - 3t + 2) dt = x^2 - 3x + 2$$

極値を取る $x$ の値を求めるために、$f'(x) = 0$ を解く。

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

$$(x - 1)(x - 2) = 0$$

よって、$x = 1$ または $x = 2$ が極値を与える候補である。

次に、$f'(x)$ の符号の変化を調べる。

$x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$

$1 < x < 2$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > 2$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = 1$ で極大値、$x = 2$ で極小値をとる。

$x = 1$ で極大値をとるので、$f(1)$ を計算する。

$f(1) = \int_1^1 (t^2 - 3t + 2) dt = 0$

問題文の指示により、$x=1$ で極大値をとると記載されているため、解答の整合性が取れている。

$x=1$で極大値$0$をとることを確認したが、問題文の指示により、$x=2$の時の値ではない。

$x = 2$ のときの極小値を求める必要はない。

$f(x) = \int_1^x (t^2 - 3t + 2) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 2t \right]_1^x$

$= \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x - \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \right)$

$= \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x - \frac{5}{6}$

$x = 1$で極大値をとる。極大値は$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) - \frac{5}{6} = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 - \frac{5}{6} = \frac{2 - 9 + 12 - 5}{6} = 0$

3. 最終的な答え

$x = 1$ で極大値 $0$ をとる。