0 <= θ < 2πの範囲で、以下の三角関数に関する方程式または不等式を解く問題です。 (2) $2\cos\theta + \sqrt{2} > 0$ (5) $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

0 <= θ < 2πの範囲で、以下の三角関数に関する方程式または不等式を解く問題です。

(2) $2\cos\theta + \sqrt{2} > 0$

(5) $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(2) $2\cos\theta + \sqrt{2} > 0$ を解きます。

まず、$\cos\theta$ について解きます。

$2\cos\theta > -\sqrt{2}$

$\cos\theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{3\pi}{4}$ と $\frac{5\pi}{4}$ です。

$\cos\theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる範囲は $0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}$ または $\frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi$ です。

(5) $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ を解きます。

まず、$2\theta - \frac{\pi}{3}$ を $x$ と置くと、$\cos x = \frac{1}{2}$ となります。

$\cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $x = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数)です。

したがって、

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $2\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$ となります。

(i) $2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ のとき

$2\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、

$n = 0$ のとき $\theta = \frac{\pi}{3}$

$n = 1$ のとき $\theta = \frac{4\pi}{3}$

(ii) $2\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$ のとき

$2\theta = 2n\pi$

$\theta = n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、

$n = 0$ のとき $\theta = 0$

$n = 1$ のとき $\theta = \pi$

3. 最終的な答え

(2) $0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi$

(5) $\theta = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$