半径1の円柱を、底面の直径を含み底面と角度$\alpha$ $(0 < \alpha < \frac{\pi}{2})$ をなす平面で切断したときにできる小さい方の立体を考える。ただし、円柱の高さは $\tan \alpha$ 以上であるとする。このとき、 (1) この立体の体積 $V$ を求めよ。 (2) 切り口の面積 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の円柱を、底面の直径を含み底面と角度$\alpha$ $(0 < \alpha < \frac{\pi}{2})$ をなす平面で切断したときにできる小さい方の立体を考える。ただし、円柱の高さは $\tan \alpha$ 以上であるとする。このとき、

(1) この立体の体積 $V$ を求めよ。

(2) 切り口の面積 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 体積 $V$ を求める。

立体を底面に垂直な平面で分割することを考える。底面上の座標 $(x, y)$ における高さ $z$ は、切断面の傾きが $\alpha$ であることから、$z = (1-x) \tan \alpha$ となる。立体を $x$ 軸に垂直な平面でスライスすると、各スライスの面積は、底辺が $2\sqrt{1-x^2}$ で高さが $(1-x) \tan \alpha$ の長方形の面積に等しい。したがって、各スライスの面積は $2\sqrt{1-x^2}(1-x)\tan \alpha$ である。

体積 $V$ は、この面積を $x$ について $-1$ から $1$ まで積分することで得られる。

$V = \int_{-1}^{1} 2 \sqrt{1-x^2} (1-x) \tan \alpha \, dx = 2 \tan \alpha \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx - 2 \tan \alpha \int_{-1}^{1} x \sqrt{1-x^2} dx$

ここで、$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ は半径1の半円の面積なので、$\frac{\pi}{2}$ である。また、$\int_{-1}^{1} x \sqrt{1-x^2} dx$ は奇関数の積分なので、0 である。

したがって、$V = 2 \tan \alpha \cdot \frac{\pi}{2} - 2 \tan \alpha \cdot 0 = \pi \tan \alpha$

(2) 切り口の面積 $A$ を求める。

切り口は楕円の一部である。円柱の半径が1なので、楕円の半短軸の長さは1である。また、底面と切り口のなす角が $\alpha$ であることから、楕円の半長軸の長さは $\frac{1}{\cos \alpha}$ となる。

楕円の面積は $\pi a b$ で与えられる。ここで、$a$ は半長軸の長さ、$b$ は半短軸の長さである。したがって、

$A = \pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{\pi}{\cos \alpha}$

3. 最終的な答え

(1) 体積 $V = \pi \tan \alpha$

(2) 切り口の面積 $A = \frac{\pi}{\cos \alpha}$