高さ $h$ における断面積が $h^2/2$ の三角形になっている三角錐型の容器に、一定の割合 $a$ で注水する。高さ $h=3$ のときの液面の上昇速度は、高さ $h=1$ のときの液面の上昇速度の何倍か求める問題。

1. 問題の内容

高さ $h$ における断面積が $h^2/2$ の三角形になっている三角錐型の容器に、一定の割合 $a$ で注水する。高さ $h=3$ のときの液面の上昇速度は、高さ $h=1$ のときの液面の上昇速度の何倍か求める問題。

2. 解き方の手順

まず、液体の体積 $V$ を高さ $h$ の関数として表します。断面積が $h^2/2$ なので、高さ $h$ までの体積は積分で求めることができます。

$V = \int_0^h \frac{x^2}{2} dx = \frac{h^3}{6}$

次に、体積の増加速度 $\frac{dV}{dt}$ が一定の値 $a$ であることを利用します。

$\frac{dV}{dt} = a$

ここで、$V$ を $h$ の関数で表しているので、連鎖律（チェインルール）を使って $\frac{dV}{dt}$ を $\frac{dh}{dt}$ で表します。

$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}$

$\frac{dV}{dh} = \frac{d}{dh} (\frac{h^3}{6}) = \frac{h^2}{2}$

したがって、

$\frac{dV}{dt} = \frac{h^2}{2} \cdot \frac{dh}{dt} = a$

これより、$\frac{dh}{dt}$ (液面の上昇速度)は、

$\frac{dh}{dt} = \frac{2a}{h^2}$

高さ $h=3$ のときの液面の上昇速度を $(\frac{dh}{dt})_{h=3}$、高さ $h=1$ のときの液面の上昇速度を $(\frac{dh}{dt})_{h=1}$ とすると、

$(\frac{dh}{dt})_{h=3} = \frac{2a}{3^2} = \frac{2a}{9}$

$(\frac{dh}{dt})_{h=1} = \frac{2a}{1^2} = 2a$

求める倍率は、$\frac{(\frac{dh}{dt})_{h=3}}{(\frac{dh}{dt})_{h=1}}$ なので、

$\frac{(\frac{dh}{dt})_{h=3}}{(\frac{dh}{dt})_{h=1}} = \frac{\frac{2a}{9}}{2a} = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

1/9