$\cos \theta = \frac{1}{3}$ (ただし、$0 < \theta < \pi$) のとき、次の値を求めよ。 (1) $\cos 2\theta$ (2) $\sin 2\theta$ (3) $\cos \frac{\theta}{2}$

1. 問題の内容

$\cos \theta = \frac{1}{3}$ (ただし、$0 < \theta < \pi$) のとき、次の値を求めよ。

(1) $\cos 2\theta$

(2) $\sin 2\theta$

(3) $\cos \frac{\theta}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta$ を求める。

$\cos 2\theta$ の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を使う。

$\cos \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$\cos 2\theta = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{1}{9}\right) - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$$

(2) $\sin 2\theta$ を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\cos \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$\sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

$0 < \theta < \pi$ より、$\sin \theta > 0$ なので、

$$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ なので、

$$\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$$

(3) $\cos \frac{\theta}{2}$ を求める。

$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ より、

$$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$0 < \theta < \pi$ より、$0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので、$\cos \frac{\theta}{2} > 0$

$$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2\theta = -\frac{7}{9}$

(2) $\sin 2\theta = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

(3) $\cos \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$