曲線 $y = x^3$ と点 $(0, 2)$ を通る接線によって囲まれる部分の面積を求めよ。まず、接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3$ と点 $(0, 2)$ を通る接線によって囲まれる部分の面積を求めよ。まず、接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = x^3$ 上の点 $(t, t^3)$ における接線を考える。

接線の傾きは $y' = 3x^2$ より $3t^2$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - t^3 = 3t^2(x - t)$

$y = 3t^2 x - 3t^3 + t^3$

$y = 3t^2 x - 2t^3$

この接線が点 $(0, 2)$ を通るから、

$2 = 3t^2 (0) - 2t^3$

$2 = -2t^3$

$t^3 = -1$

$t = -1$

したがって、接線の方程式は

$y = 3(-1)^2 x - 2(-1)^3$

$y = 3x + 2$

(2) 曲線 $y = x^3$ と接線 $y = 3x + 2$ の交点を求める。

$x^3 = 3x + 2$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x + 1)^2 (x - 2) = 0$

$x = -1, 2$

交点は $(-1, -1)$ と $(2, 8)$ である。

(3) 囲まれた部分の面積を求める。

$S = \int_{-1}^{2} (3x + 2 - x^3) dx$

$S = [\frac{3}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{4}x^4]_{-1}^{2}$

$S = (\frac{3}{2}(2)^2 + 2(2) - \frac{1}{4}(2)^4) - (\frac{3}{2}(-1)^2 + 2(-1) - \frac{1}{4}(-1)^4)$

$S = (6 + 4 - 4) - (\frac{3}{2} - 2 - \frac{1}{4})$

$S = 6 - (\frac{6}{4} - \frac{8}{4} - \frac{1}{4})$

$S = 6 - (-\frac{3}{4})$

$S = 6 + \frac{3}{4}$

$S = \frac{24}{4} + \frac{3}{4}$

$S = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$