連続な関数 $f(x)$ について、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$ を証明せよ。

1. 問題の内容

連続な関数 $f(x)$ について、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて証明します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$ を計算します。

$x = \frac{\pi}{2} - t$ と置換します。

すると、$dx = -dt$ となります。

積分の範囲は、$x=0$ のとき $t = \frac{\pi}{2}$、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき $t=0$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(\sin (\frac{\pi}{2} - t)) (-dt)$

積分範囲を入れ替えると、

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin (\frac{\pi}{2} - t)) dt$

ここで、$\sin (\frac{\pi}{2} - t) = \cos t$ より、

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) dt$

積分変数を $t$ から $x$ に変更すると、

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$

よって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$