曲線 $y=e^x$ 上の点 A(0, 1), 点 B(1, e) における接線と、この曲線で囲まれた部分の面積 S を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y=e^x$ 上の点 A(0, 1), 点 B(1, e) における接線と、この曲線で囲まれた部分の面積 S を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点 A(0, 1) における接線を求める。

$y = e^x$ を微分すると $y' = e^x$ となる。

点 A(0, 1) における接線の傾きは $y'(0) = e^0 = 1$ である。

したがって、点 A(0, 1) における接線の方程式は、

$y - 1 = 1(x - 0)$

$y = x + 1$

(2) 点 B(1, e) における接線を求める。

点 B(1, e) における接線の傾きは $y'(1) = e^1 = e$ である。

したがって、点 B(1, e) における接線の方程式は、

$y - e = e(x - 1)$

$y = ex - e + e$

$y = ex$

(3) 面積 S を求める。

面積 S は、$e^x$、接線 $y = x + 1$、接線 $y = ex$ によって囲まれた部分の面積である。

面積 S は、積分を使って以下のように表せる。

$S = \int_0^1 e^x dx - \int_0^1 (x + 1) dx + \int_0^1 ex dx - \int_0^1 ex dx$

$S = \int_0^1 e^x dx - \int_0^1 (x + 1) dx$

$S = [e^x]_0^1 - [\frac{1}{2}x^2 + x]_0^1$

$S = (e^1 - e^0) - (\frac{1}{2}(1)^2 + 1 - 0)$

$S = (e - 1) - (\frac{1}{2} + 1)$

$S = e - 1 - \frac{3}{2}$

$S = e - \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$S = e - \frac{5}{2}$