連続な関数 $f(x)$ について、以下の等式を証明せよ。 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx $$

1. 問題の内容

連続な関数 $f(x)$ について、以下の等式を証明せよ。

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx

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2. 解き方の手順

左辺の積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$ を考える。

$x = \frac{\pi}{2} - t$ と変数変換する。

このとき、$dx = -dt$ であり、積分の範囲は $x=0$ のとき $t = \frac{\pi}{2}$、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき $t = 0$となる。

したがって、

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)\right) (-dt) = -\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(\cos t) (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) dt

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最後の積分変数を $t$ から $x$ に置き換えると、

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx

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したがって、

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx

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が成り立つ。

3. 最終的な答え

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx

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が証明された。