座標平面上を運動する点Pの時刻 $t$ における座標 $(x, y)$ が $x = \log t, y = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$ で表されるとき、$t = 1$ から $t = 3$ までの点Pが通過する道のり $s$ を求める問題です。

1. 問題の内容

座標平面上を運動する点Pの時刻 $t$ における座標 $(x, y)$ が $x = \log t, y = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$ で表されるとき、$t = 1$ から $t = 3$ までの点Pが通過する道のり $s$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

道のり $s$ は、以下の式で計算できます。

$s = \int_{1}^{3} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$x = \log t$ より、

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}$

$y = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$ より、

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{t^2})$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (\frac{1}{t})^2 + (\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{t^2}))^2$

$= \frac{1}{t^2} + \frac{1}{4}(1 - \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4})$

$= \frac{1}{t^2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2t^2} + \frac{1}{4t^4}$

$= \frac{1}{4} + \frac{1}{2t^2} + \frac{1}{4t^4}$

$= \frac{t^4 + 2t^2 + 1}{4t^4}$

$= \frac{(t^2 + 1)^2}{4t^4}$

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$ を計算します。

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{\frac{(t^2 + 1)^2}{4t^4}} = \frac{t^2 + 1}{2t^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2t^2}$

道のり $s$ を計算します。

$s = \int_{1}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2t^2}) dt$

$= \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (1 + \frac{1}{t^2}) dt$

$= \frac{1}{2} [t - \frac{1}{t}]_{1}^{3}$

$= \frac{1}{2} [(3 - \frac{1}{3}) - (1 - 1)]$

$= \frac{1}{2} (3 - \frac{1}{3})$

$= \frac{1}{2} (\frac{9 - 1}{3})$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}$

$= \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$