次の不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{dx}{x^2(x+3)}$ (2) $\int \frac{dx}{\cos x}$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{dx}{x^2(x+3)}$

(2) $\int \frac{dx}{\cos x}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を用いて積分を計算します。まず、被積分関数を次のように分解します。

$\frac{1}{x^2(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+3}$

両辺に$x^2(x+3)$を掛けると、

$1 = Ax(x+3) + B(x+3) + Cx^2$

$1 = (A+C)x^2 + (3A+B)x + 3B$

係数を比較して、

$A+C=0$

$3A+B=0$

$3B=1$

これらを解くと、$B = \frac{1}{3}, A = -\frac{1}{9}, C = \frac{1}{9}$となります。したがって、

$\frac{1}{x^2(x+3)} = -\frac{1}{9x} + \frac{1}{3x^2} + \frac{1}{9(x+3)}$

積分は次のようになります。

$\int \frac{dx}{x^2(x+3)} = \int (-\frac{1}{9x} + \frac{1}{3x^2} + \frac{1}{9(x+3)}) dx$

$= -\frac{1}{9} \int \frac{dx}{x} + \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2} + \frac{1}{9} \int \frac{dx}{x+3}$

$= -\frac{1}{9} \ln |x| - \frac{1}{3x} + \frac{1}{9} \ln |x+3| + C$

$= \frac{1}{9} \ln |\frac{x+3}{x}| - \frac{1}{3x} + C$

(2) $\int \frac{dx}{\cos x} = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

$\int \frac{du}{1-u^2} = \int \frac{du}{(1-u)(1+u)}$

部分分数分解を適用します。

$\frac{1}{(1-u)(1+u)} = \frac{A}{1-u} + \frac{B}{1+u}$

$1 = A(1+u) + B(1-u) = (A-B)u + (A+B)$

$A-B=0, A+B=1$

$A=B=\frac{1}{2}$

$\int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u}) du = \frac{1}{2} (-\ln |1-u| + \ln |1+u|) + C = \frac{1}{2} \ln |\frac{1+u}{1-u}| + C$

$u = \sin x$ を代入して、

$\frac{1}{2} \ln |\frac{1+\sin x}{1-\sin x}| + C$

$\frac{1}{2} \ln |\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}| + C = \frac{1}{2} \ln |\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}| + C = \ln |\frac{1+\sin x}{\cos x}| + C = \ln |\sec x + \tan x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{9} \ln |\frac{x+3}{x}| - \frac{1}{3x} + C$

(2) $\ln |\sec x + \tan x| + C$