与えられた積分 $\int \frac{3x-5}{x^2+4} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{3x-5}{x^2+4} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を二つの部分に分けます。

$\int \frac{3x-5}{x^2+4} dx = \int \frac{3x}{x^2+4} dx - \int \frac{5}{x^2+4} dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

最初の積分について、置換積分を行います。

$u = x^2 + 4$ と置くと、$du = 2x dx$ となります。

したがって、$\frac{3}{2}du = 3x dx$ となります。

$\int \frac{3x}{x^2+4} dx = \int \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{3}{2} \ln(x^2+4) + C_1$

二つ目の積分について、$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ を利用します。

今回は $a^2=4$ なので、$a=2$ です。

$\int \frac{5}{x^2+4} dx = 5 \int \frac{1}{x^2+4} dx = 5 \cdot \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C_2 = \frac{5}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C_2$

最後に、二つの積分結果をまとめます。

$\int \frac{3x-5}{x^2+4} dx = \frac{3}{2} \ln(x^2+4) - \frac{5}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

ここで、$C = C_1 - C_2$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \ln(x^2+4) - \frac{5}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$