定数 $a$ に対して、定積分 $I = \int_{0}^{1} (e^x - ax)^2 dx$ を最小にする $a$ の値と、そのときの $I$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ に対して、定積分 $I = \int_{0}^{1} (e^x - ax)^2 dx$ を最小にする $a$ の値と、そのときの $I$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$I$ を $a$ の関数として計算します。

$I = \int_{0}^{1} (e^x - ax)^2 dx = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2axe^x + a^2x^2) dx$

各項を積分します。

$\int_{0}^{1} e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} \Big|_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$

$\int_{0}^{1} 2axe^x dx = 2a \int_{0}^{1} xe^x dx$

ここで部分積分を用いて $\int xe^x dx$ を計算します。

$u = x, dv = e^x dx$ とおくと、$du = dx, v = e^x$ となり、

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x$

よって、

$\int_{0}^{1} xe^x dx = (xe^x - e^x) \Big|_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1$

したがって、$\int_{0}^{1} 2axe^x dx = 2a$

$\int_{0}^{1} a^2x^2 dx = a^2 \int_{0}^{1} x^2 dx = a^2 \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3}a^2$

したがって、

$I = \frac{1}{2}(e^2 - 1) - 2a + \frac{1}{3}a^2 = \frac{1}{3}a^2 - 2a + \frac{1}{2}(e^2 - 1)$

$I$ を最小にする $a$ を求めるために、$I$ を $a$ で微分して $0$ とおきます。

$\frac{dI}{da} = \frac{2}{3}a - 2 = 0$

$\frac{2}{3}a = 2$

$a = 3$

$I$ が最小となる $a$ の値を求めたので、最小値を計算します。

$I_{min} = \frac{1}{3}(3)^2 - 2(3) + \frac{1}{2}(e^2 - 1) = 3 - 6 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = -3 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$a = 3$ のとき、$I$ は最小となり、その最小値は $I_{min} = \frac{e^2 - 7}{2}$ です。