関数 $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$ の最大値と最小値、およびそれらをとる時の $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$ の最大値と最小値、およびそれらをとる時の $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

三角関数 $\cos$ の値域は $-1 \le \cos \theta \le 1$ であることを利用する。

まず、$\cos(x + \frac{\pi}{3})$ の範囲を考える。

$-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$

次に、この不等式に 2 を掛ける。

$-2 \le 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 2$

最後に、不等式全体から 1 を引く。

$-2 - 1 \le 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1 \le 2 - 1$

$-3 \le y \le 1$

したがって、最大値は 1、最小値は -3 である。

最大値をとる時：

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$

$x + \frac{\pi}{3} = 2n\pi$ (n は整数)

$x = 2n\pi - \frac{\pi}{3}$

最小値をとる時：

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -1$

$x + \frac{\pi}{3} = (2n+1)\pi$ (n は整数)

$x = (2n+1)\pi - \frac{\pi}{3} = 2n\pi + \pi - \frac{\pi}{3} = 2n\pi + \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

最大値: 1 ($x = 2n\pi - \frac{\pi}{3}$ のとき、n は整数)

最小値: -3 ($x = 2n\pi + \frac{2\pi}{3}$ のとき、n は整数)