画像に示された内容は、関数 $(1+x)^{-1/2}$ のマクローリン展開を利用して、$\arcsin x$ の級数展開を求める問題です。具体的には、$(1+x)^{-1/2}$ の一般二項展開から、変数変換 $x \rightarrow -x^2$ を行い、得られた関数 $(1-x^2)^{-1/2}$ を積分することで、$\arcsin x$ の級数展開を導出します。

1. 問題の内容

画像に示された内容は、関数 $(1+x)^{-1/2}$ のマクローリン展開を利用して、$\arcsin x$ の級数展開を求める問題です。具体的には、$(1+x)^{-1/2}$ の一般二項展開から、変数変換 $x \rightarrow -x^2$ を行い、得られた関数 $(1-x^2)^{-1/2}$ を積分することで、$\arcsin x$ の級数展開を導出します。

2. 解き方の手順

(1) $(1+x)^{-1/2}$ のマクローリン展開（一般二項展開）:

$(1+x)^{-1/2} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k (2k-1)!!}{(2k)!!} x^k + O(x^{n+1})$

ここで、$(2k-1)!!$ は二重階乗を表し、$(2k-1)!! = (2k-1)(2k-3)\cdots 3 \cdot 1$ です。また、$(2k)!! = (2k)(2k-2)\cdots 4 \cdot 2$ です。

(2) 変数変換 $x \rightarrow -x^2$ :

$f'(x) = (1-x^2)^{-1/2} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k(2k-1)!!}{(2k)!!} (-x^2)^k + O(x^{2n+2})$

$f'(x) = (1-x^2)^{-1/2} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} x^{2k} + O(x^{2n+2})$

(3) 積分:

$f(x) = \arcsin x = \int (1-x^2)^{-1/2} dx = \int \sum_{k=0}^{n} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} x^{2k} dx + C$

$f(x) = \arcsin x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \int x^{2k} dx + C$

$f(x) = \arcsin x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + C + O(x^{2n+3})$

(4) 積分定数の決定:

$f(0) = \arcsin(0) = 0$ より、$C=0$

したがって、

$\arcsin x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{1}{2k+1} x^{2k+1} + O(x^{2n+3})$

3. 最終的な答え

$\arcsin x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{1}{2k+1} x^{2k+1} + O(x^{2n+3})$