1. 関数 $f(x) = 3x^3 + 9x^2 + 5x - 9$ の増減表を作成し、極値およびそのときの $x$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。3つの問題全て解きます。

1. 問題の内容

1. 関数 $f(x) = 3x^3 + 9x^2 + 5x - 9$ の増減表を作成し、極値およびそのときの $x$ の値を求めます。

2. 関数 $f(x) = xe^{3x-1}$ の増減表を作成し、極値およびそのときの $x$ の値を求めます。

3. 関数 $f(x) = \frac{1}{3}x + \sqrt{1-x}$ において、$-3 \le x \le 1$ の範囲での増減表を作成し、$f(x)$ の最大値と最小値をそのときの $x$ の値とともに求めます。

2. 解き方の手順

問題 1: $f(x) = 3x^3 + 9x^2 + 5x - 9$

1. 導関数を求める:

$f'(x) = 9x^2 + 18x + 5$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:

$9x^2 + 18x + 5 = 0$

$(3x + 1)(3x + 5) = 0$

$x = -\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}$

3. 増減表を作成する:

| x | ... | -5/3 | ... | -1/3 | ... |

| :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

4. 極値を求める:

$f(-\frac{5}{3}) = 3(-\frac{5}{3})^3 + 9(-\frac{5}{3})^2 + 5(-\frac{5}{3}) - 9 = -\frac{125}{9} + \frac{225}{9} - \frac{25}{3} - 9 = \frac{100}{9} - \frac{75}{9} - \frac{81}{9} = -\frac{56}{9}$

$f(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 + 9(-\frac{1}{3})^2 + 5(-\frac{1}{3}) - 9 = -\frac{1}{9} + \frac{9}{9} - \frac{15}{9} - \frac{81}{9} = -\frac{88}{9}$

問題 2: $f(x) = xe^{3x-1}$

1. 導関数を求める:

$f'(x) = e^{3x-1} + x \cdot 3e^{3x-1} = e^{3x-1}(1 + 3x)$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:

$e^{3x-1}(1 + 3x) = 0$

$1 + 3x = 0$ (∵$e^{3x-1} > 0$)

$x = -\frac{1}{3}$

3. 増減表を作成する:

| x | ... | -1/3 | ... |

| :------ | :------ | :------ | :------ |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 |

4. 極値を求める:

$f(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}e^{3(-\frac{1}{3})-1} = -\frac{1}{3}e^{-2} = -\frac{1}{3e^2}$

問題 3: $f(x) = \frac{1}{3}x + \sqrt{1-x}$ ($-3 \le x \le 1$)

1. 導関数を求める:

$f'(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}}(-1) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:

$\frac{1}{3} = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

$2\sqrt{1-x} = 3$

$\sqrt{1-x} = \frac{3}{2}$

$1 - x = \frac{9}{4}$

$x = 1 - \frac{9}{4} = -\frac{5}{4} = -1.25$

3. 増減表を作成する ($-3 \le x \le 1$):

| x | -3 | ... | -5/4 | ... | 1 |

| :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ |

| f'(x) | | - | 0 | + | |

| f(x) | | 減少 | 極小 | 増加 | |

4. 端点と極小値での $f(x)$ の値を計算する:

$f(-3) = \frac{1}{3}(-3) + \sqrt{1 - (-3)} = -1 + \sqrt{4} = -1 + 2 = 1$

$f(-\frac{5}{4}) = \frac{1}{3}(-\frac{5}{4}) + \sqrt{1 - (-\frac{5}{4})} = -\frac{5}{12} + \sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{5}{12} + \frac{3}{2} = -\frac{5}{12} + \frac{18}{12} = \frac{13}{12}$

$f(1) = \frac{1}{3}(1) + \sqrt{1 - 1} = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$

5. 最大値と最小値を決定する:

最大値: $f(-\frac{5}{4}) = \frac{13}{12}$

最小値: $f(1) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

問題 1:

- 極大値: $x = -\frac{5}{3}$ のとき $f(x) = -\frac{56}{9}$

- 極小値: $x = -\frac{1}{3}$ のとき $f(x) = -\frac{88}{9}$

問題 2:

- 極小値: $x = -\frac{1}{3}$ のとき $f(x) = -\frac{1}{3e^2}$

問題 3:

- 最大値: $x = -\frac{5}{4}$ のとき $f(x) = \frac{13}{12}$

- 最小値: $x = 1$ のとき $f(x) = \frac{1}{3}$