問題9は、次の級数の和を求める問題です。 $\frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{4^2-1} + \frac{1}{6^2-1} + \cdots + \frac{1}{(2n)^2-1}$

1. 問題の内容

問題9は、次の級数の和を求める問題です。

$\frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{4^2-1} + \frac{1}{6^2-1} + \cdots + \frac{1}{(2n)^2-1}$

2. 解き方の手順

まず、各項を部分分数分解します。一般項 $\frac{1}{(2k)^2 - 1}$ は以下のように変形できます。

$\frac{1}{(2k)^2 - 1} = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$

両辺に $(2k - 1)(2k + 1)$ を掛けると、

$1 = A(2k + 1) + B(2k - 1)$

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると、$1 = 2A$ となり、$A = \frac{1}{2}$ が得られます。

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$1 = -2B$ となり、$B = -\frac{1}{2}$ が得られます。

したがって、

$\frac{1}{(2k)^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

与えられた級数の和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k)^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

この級数はtelescoping sum（伸縮級数）であるため、以下のように計算できます。

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n + 1} \right) = \frac{n}{2n + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{2n + 1}$