関数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ について、条件 $x^2 + y^2 = 1$ の下で、ラグランジュの未定乗数法を用いて以下の問いに答えます。 1. $f(x, y)$ の極値点の候補 $(a, b)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ について、条件 $x^2 + y^2 = 1$ の下で、ラグランジュの未定乗数法を用いて以下の問いに答えます。

1. $f(x, y)$ の極値点の候補 $(a, b)$ を求めます。

2. $f(x, y)$ の最大値および最小値を求めます。

2. 解き方の手順

1. 極値点の候補を求めます。

まず、$f(x, y)$ の偏微分を計算します。

$f_x = 2x + 2y$

$f_y = 2x + 2y$

次に、ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(x^2 + y^2 - 1)$ を定義します。

$L(x, y, \lambda) = x^2 + 2xy + y^2 - \lambda(x^2 + y^2 - 1)$

ラグランジュ関数の偏微分を計算します。

$L_x = 2x + 2y - 2\lambda x = 0$

$L_y = 2x + 2y - 2\lambda y = 0$

$L_\lambda = -(x^2 + y^2 - 1) = 0$

これらの式から、$x, y, \lambda$ を求めます。

最初の2つの式より、

$x + y = \lambda x$

$x + y = \lambda y$

したがって、$\lambda x = \lambda y$ となります。

(i) $\lambda = 0$ のとき、 $x + y = 0$ です。 $y = -x$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、$x^2 + (-x)^2 = 1$ より、$2x^2 = 1$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。したがって、$(x, y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ が得られます。

(ii) $\lambda \neq 0$ のとき、 $x = y$ です。 $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、$x^2 + x^2 = 1$ より、$2x^2 = 1$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。したがって、$(x, y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ が得られます。

2. 最大値および最小値を求めます。

求めた候補点で $f(x, y)$ の値を計算します。

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2(-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2(-\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$

したがって、最大値は 2, 最小値は 0 となります。

3. 最終的な答え

1. 極値点の候補: $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

2. 最大値: 2, 最小値: 0