関数 $f = r \sin^2 \theta$ が与えられており、$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ の関係があります。全微分 $df = a dx + b dy$ を考えたとき、点 $(x, y) = (1, 1)$ における $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f = r \sin^2 \theta$ が与えられており、$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ の関係があります。全微分 $df = a dx + b dy$ を考えたとき、点 $(x, y) = (1, 1)$ における $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$r$ と $\theta$ を $x$ と $y$ で表します。

$x = r \cos \theta$ かつ $y = r \sin \theta$ より、$x^2 + y^2 = r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r^2$ となります。したがって、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ です。

また、$\tan \theta = \frac{y}{x}$ なので、$\theta = \arctan \frac{y}{x}$ です。

$f = r \sin^2 \theta = r (1 - \cos^2 \theta) = r (1 - \frac{x^2}{r^2}) = r - \frac{x^2}{r} = \sqrt{x^2 + y^2} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$f = \frac{x^2 + y^2 - x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ なので、$a = \frac{\partial f}{\partial x}$ と $b = \frac{\partial f}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y^2 (-\frac{1}{2}) (x^2 + y^2)^{-\frac{3}{2}} (2x)}{(x^2 + y^2)} = - \frac{x y^2}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y \sqrt{x^2 + y^2} - y^2 (\frac{1}{2}) (x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}} (2y)}{(x^2 + y^2)} = \frac{2y(x^2 + y^2) - y^3}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{2yx^2 + 2y^3 - y^3}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{y(2x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}$

点 $(x, y) = (1, 1)$ における $a$ と $b$ の値を計算します。

$a = - \frac{(1)(1)^2}{(1^2 + 1^2)^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{2 \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$b = \frac{1 (2(1)^2 + (1)^2)}{(1^2 + 1^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$a = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$b = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$