与えられた4階線形非同次微分方程式 $y^{(4)} - 8y'' + 16y = x^2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた4階線形非同次微分方程式

$y^{(4)} - 8y'' + 16y = x^2$

を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 同次方程式を解く：

まず、対応する同次方程式

$y^{(4)} - 8y'' + 16y = 0$

を考えます。特性方程式は

$r^4 - 8r^2 + 16 = 0$

となります。

これは $(r^2 - 4)^2 = 0$ と書けるので、 $r^2 = 4$ より $r = \pm 2$ が重根となります。

したがって、同次方程式の一般解は

$y_h = c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x} + c_3 e^{-2x} + c_4 x e^{-2x}$

となります。ここで、$c_1, c_2, c_3, c_4$ は任意定数です。

(2) 特殊解を求める：

非同次項が $x^2$ なので、特殊解を $y_p = Ax^2 + Bx + C$ の形で仮定します。

これを微分すると、

$y_p' = 2Ax + B$

$y_p'' = 2A$

$y_p''' = 0$

$y_p^{(4)} = 0$

となります。

与えられた微分方程式に代入すると、

$0 - 8(2A) + 16(Ax^2 + Bx + C) = x^2$

$-16A + 16Ax^2 + 16Bx + 16C = x^2$

$16Ax^2 + 16Bx + (16C - 16A) = x^2$

係数を比較すると、

$16A = 1$, $16B = 0$, $16C - 16A = 0$

よって、 $A = \frac{1}{16}$, $B = 0$, $C = A = \frac{1}{16}$

したがって、特殊解は

$y_p = \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}$

となります。

(3) 一般解を求める：

一般解は同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$y = y_h + y_p = c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x} + c_3 e^{-2x} + c_4 x e^{-2x} + \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

$y = c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x} + c_3 e^{-2x} + c_4 x e^{-2x} + \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}$