$x^2 = t - 1$ より、 $t = x^2 + 1$ となります。

## 問題 (1) の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \sqrt{t-1}$ および $y = 2t + 3$ と表される曲線がどのような曲線であるかを求める問題です。

## 解き方の手順

1. $x = \sqrt{t-1}$ を $t$ について解きます。

$x^2 = t - 1$ より、 $t = x^2 + 1$ となります。

2. この $t$ を $y = 2t + 3$ に代入します。

$y = 2(x^2 + 1) + 3 = 2x^2 + 2 + 3 = 2x^2 + 5$

3. $x = \sqrt{t-1}$ より、$x \ge 0$ である必要があります。また、$t \ge 1$ です。

4. したがって、$y = 2x^2 + 5$ であり、$x \ge 0$ の範囲となります。

## 最終的な答え

$y = 2x^2 + 5$ ($x \ge 0$)

---

## 問題 (2) の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = 2 \cos t + 1$ および $y = \frac{1}{2} \sin t - 1$ と表される曲線がどのような曲線であるかを求める問題です。

## 解き方の手順

1. $x = 2\cos t + 1$ を変形して、$\cos t$ について解きます。

$\cos t = \frac{x-1}{2}$

2. $y = \frac{1}{2} \sin t - 1$ を変形して、$\sin t$ について解きます。

$\sin t = 2(y+1)$

3. 三角関数の基本公式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ を利用します。

$\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + (2(y+1))^2 = 1$

4. 式を整理します。

$\frac{(x-1)^2}{4} + 4(y+1)^2 = 1$

$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+1)^2}{\frac{1}{4}} = 1$

5. これは楕円の方程式です。

## 最終的な答え

$\frac{(x-1)^2}{4} + 4(y+1)^2 = 1$ （楕円）

あるいは

$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+1)^2}{\frac{1}{4}} = 1$ （楕円）

---

## 問題 (3) の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1}{1+t^2}$ および $y = \frac{t}{1+t^2}$ と表される曲線がどのような曲線であるかを求める問題です。

## 解き方の手順

1. $x^2$ と $y^2$ を計算します。

$x^2 = \frac{1}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = \frac{t^2}{(1+t^2)^2}$

2. $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = \frac{1}{(1+t^2)^2} + \frac{t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1+t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1}{1+t^2}$

3. $x = \frac{1}{1+t^2}$ であるから、$x^2 + y^2 = x$ となります。

4. 式を整理します。

$x^2 - x + y^2 = 0$

5. 平方完成します。

$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2$

6. これは円の方程式です。

7. $x = \frac{1}{1+t^2}$ なので、$0 < x \le 1$です。また、$y = \frac{t}{1+t^2}$なので、$t$が全ての実数をとるとき、$y$は全ての実数を取ります。

## 最終的な答え

$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}$ （円の中心 $(\frac{1}{2}, 0)$、半径 $\frac{1}{2}$）ただし原点を除く。

あるいは

中心$(\frac{1}{2}, 0)$、半径$\frac{1}{2}$の円、ただし、$x>0$の部分。